微分方程式の解法【リカッチ方程式】
微分方程式
微分方程式も3つ目になります。リカッチ方程式が最後になるかもしれません。（今のところこの3つがわからなくて頑張って調べたものです）一般形はこちらになります。
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x) y^2 + q(x) y + r(x) = 0$$
初見でこれだけ見たらよくわからないですね。でも問題の形を見れば解法は一発でわかります。例題はこんな感じです。
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【例題】
$$x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - x^2 y^2 + xy + 1 =0$$
ただし、特殊解として
$$y = \frac{1}{x}$$
を用いて良い。
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はい、もう一発で普通の問題との違いがわかりますね。特殊解を指定されています。リカッチ方程式は、特殊解を用いると、線形な微分方程式になるという特徴があります。それではひとまず、一般形を用いて導出してみましょう。
リカッチ方程式【導出】
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x) y^2 + q(x) y + r(x) = 0$$
※調べたら違う方法も出てましたが、せっかくなので自分で用いた導出を使います。
特殊解をy_0とします。一般解はg(x)とします。この時、この微分方程式の解は、一般解と特殊解の和で表されるので、
$$y = g + y_0$$
と表されます。これを与えられた微分方程式に代入します。
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dot{g} + \dot{y_0}$$
を用いれば、
$$\dot{g} + \dot{y_0} + p(x) (g + y_0)^2 + q(x) (g + y_0) + r(x) = 0$$
これを整理すると
$$\dot{g} + p(x)g^2 + 2p(x)g y_0 + q(x)g + (\dot{y_0} + p(x) y_0 ^2 +q(x)y_0 + r(x)) =0$$
ところで、y_0はこの微分方程式の解であるから、後半の括弧で囲まれた部分は0となるので、
$$\dot{g} + p(x)g^2 + 2p(x)g y_0 + q(x)g =0$$
整理すると、
$$\dot{g} + (2p(x) y_0 + q(x))g = - p(x) g^2$$
ここで、
$$2p(x) y_0 + q(x) = s(x)$$
と置けば、
$$\dot{g} + s(x)g = - p(x) g^2$$
となり、これはn = 2のときのベルヌーイ方程式に他ならない。
よって、
$$ u = g^{1 - n} = g^{-1} = \frac{1}{g}$$
と変数変換することにより、この方程式を解くことができる。
（ベルヌーイ方程式の解法自体は割と有名なので、ここでは割愛します。知らなければググってみてください。）
この微分方程式の解法も、特に公式を覚えるとかそう言うことはありません。
適切な手順を流れに沿って行っていくことが大事です。これに関しては、例題を手順に沿って解いてみましょう。
リカッチ方程式【演習】
【例題】
$$x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - x^2 y^2 + xy + 1 =0$$
ただし、特殊解として
$$y = \frac{1}{x}$$
を用いて良い。
最初に挙げたものと同じ問題です。
求める一般解を
$$y = g + \frac{1}{x}$$
として、与式に代入します。これを整理すると、
$$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} - \frac{1}{x}g = g^2$$
このようになるはずです。ここは辛抱強く計算するだけです。頑張りましょう。
これにより、式はベルヌーイ方程式に帰着できましたので、
$$u = \frac{1}{g}$$
と置換して、計算を進めましょう。
gを主語に置き換え、xで微分します。
$$g = \frac{1}{u}$$
$$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} = \left(- \frac{1}{u^2}\right)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} $$
これを用いることで、式を整理すると、
$$\dot{u} + \frac{1}{x}u = -1$$
このようになります。
ついに一階の非同次系線形微分方程式になりましたので、ここまできたら公式にどんと入れてやりましょう。
$$u = e^{-\int \frac{1}{x} dx}\left(\int (-1)e^{\int \frac{1}{x} dx} dx + c\right)$$
$$u = A \frac{1}{x} \left(- \frac{x^2}{2} + c\right)$$
$$u = a x + c\frac{1}{x}$$
よって、
$$g = \frac{x}{ax^2 + c}$$
これが一般解である。（ただし、a,cは実定数）
以上で終わりとなります、 どうでしょうか。正直な感想、道のりが長いな…と言う感じですね。最後の計算はあってるとは思いますが、もし間違いなどございましたら、ご指摘いただけますと幸いです。
